Caos no modelo logístico

Como o caos emerge nos modelos determinísticos de crescimento populacional?  Quais são as ferramentas  quantitativas necessárias  para entender e representar o comportamento caótico?

O modelo logístico é sado para descrever o crescimento de uma população num ambiente com recursos limitados. Quando uma população cresce continuamente (ou seja, quando as taxas de natalidade e mortalidade não ocorrem em intervalos fixos) o modelo logístico sempre resulta num crescimento gradual e previsível da população até um valor limitante, a capacidade de suporte, o valor máximo de indivíduos que o ambiente pode suportar.  Mas, quando a população cresce de forma discreta (como uma população que reproduz em intervalos fixos – como uma vez por ano na primavera) então a dinâmica pode ser mais complexa. O modelo pode resultar numa população que alcança um equilíbrio simples, tem oscilações periódicas ou exibe um comportamento caótico, dependente da taxa de crescimento do intervalo discreto do tempo. Nessa tarefa você usará um intervalo de tempo de um ano e avaliar explore a dinâmica do modelo logístico discreto com taxas diferentes de crescimento.

Começamos criando uma planilha da equação de diferencia  do modelo logístico:  DP=rP(1-P/K), onde P é o tamanho populacional, r é a taxa intrínseca de crescimento e K é a capacidade de suporte. A equação de diferencia que calcula  a população de uma geração a próxima é: P_t+1=P_t + DP_t , com uma população inicial de P₀ . Neste exemplo começamos com uma população inicial de 1, uma taxa de crescimento de 0.1 por ano e uma capacidade de suporte de 100.

Agora podemos explorar como a solução ao modelo logístico depende dos três parâmetros P₀, r e K.

Para entender como os tipos diferentes de comportamento no modelo logístico aparecem é útil criar um gráfico de teia de aranha. Esse é um gráfico de  P_t+1 contra P_t e é usado para ilustrar como a seqüência de valores é gerada pela equação de diferencia, P_t+1=f(P_t). Para o modelo logístico,  f(x)=x + r x (1-x/K).  No gráfico de teia de aranha começamos com o valor inicial de x= P₀, move a curva y=f(x) para obter o valor y=P₁ e retorne a linha y=x para encontrar o próximo valor x= P_1.. Repita o processo. A seqüência de pontos para fazer gráficos é  (P₀,0), (P₀,P₁), (P₁,P₁), (P₁,P₂) … Veja o gráfico ao kado.

Para criar o gráfico inteiro de teia de aranha precisa fazer um gráfico da linha, y=x, a curva, y= f(x)=x + r x (1-x/K), e  a seqüência de pontos do passo anterior.

Adicione colunas novas na planilha que permitem fazer um gráfico de y=x e y= f(x)=x + r x (1-x/K). Precisa incluir uma coluna de valores de x, que devem variar entre 0 e 200 (ou duas vezes a capacidade de suporte). Ao adicionar as, faz um gráfico de y=x e y= f(x) e P_t+1 contra P_t no mesmo gráfico. Use a dispersão de X e Y com pontos conectadas para fazer o gráfico. Use cores distintos para cada curva.

Crie uma copia da primeira planilha e colar numa planilha nova. Agora crie uma entrada para  a diferencia inicial das populações, d₀ .

Adicione uma coluna nova de população, com o valor inicial é P₀+ d₀ . Pode formatar as colunas de modo de demonstrar suficientes decimais para ilustrar a diferencia pequena nas populações.

Finalmente crie uma coluna onde calculará  d/d₀.  Essa coluna somente precisa aproximadamente 30 passos de tempo. Pode observar que esse valor pula. Mas, observará uma tendência de crescer quando r  está nas regiões onde a dinâmica populacional é caótica.

Para determinar se a razão, d/d_0, cresce exponencialmente, faz um gráfico de d/d₀ contra o tempo e ajuste a curva exponencial aos dados. O expoente, l,  é o expoente de Liapunov, uma medida quantitativa de caos.  Um valor de l menor ou igual a zero implica que o sistema não é caótico.

Faz um gráfico de d/d₀ contra t. Agora adicione a linha de tendência exponencial. Escolha a opção para incluir a equação o valor de R²  da linha de tendência no gráfico. Agora varie o valor da taxa de crescimento, r,  e determine o valor do expoente de Liapunov, l,  para valores diferentes de r. 

O modelo logístico descreve o crescimento de uma  população sujeita a capacidade de suporte que limita a população total. Se uma população cresce discretamente, como no caso de uma população de aves que reproduz anualmente na primavera, a dinâmica populacional pode exibir oscilações caóticas sob certas condições. Nesta tarefa você avaliará as condições que resultam em caos. Você também aprenderá uma variedade de métodos quantitativos para analisar a rota a caos.

Dica: Se tem um número na Célula B2 e quer calcular seu quadrado na  Célula C2 então em C2 escreve =B2^2.

Para usar referencias absolutas escreve =$B$2^2 .

Quando a taxa de crescimento, r, varia entre 0 e 1, o modelo logístico prevê uma aproximação gradua ao equilíbrio a uma população igual a capacidade de suporte. Mas. Se existem valores da taxa de crescimento maior do que 1 o modelo se comporta de forma não esperada. Para alguns valores de r  a solução ultrapassa a capacidade de suporte  antes de aproximar o equilíbrio, para alguns valores oscila entre dois ou mais equilíbrios (chamados de 2-ciclos, 4-ciclos, e outras), e para outros valores a solução é caótica.

A palavra caos é usada de várias formas. Nesta tarefa, um sistema caótico é um sistema que exibe a dependência sensível as condições iniciais. Se um modelo prevê dois resultados bem diferentes para as duas populações que diferem inicialmente por um uma quantidade pequena, então o modelo é caótico. Se define  o valor absolto da diferencia entre duas populações como d , então a razão de d a diferencia inicia absoluta d₀ diverge exponencialmente, o sistema é caótico.

Dica: Clique a direito sobre um ponto de dados no gráfico. Selecione adicionar linha de tendência do menu. Escolha o ajuste exponencial e sob as opções escolha as caixas para demonstrar a equação no gráfico e demonstrar o valor de R-quadrado no gráfico.